व्युत्पन्न आणि एकात्मिक दरम्यान फरक

व्युत्पन्न बनाम इन्टॅग्राल भेदभाव आणि एकत्रीकरण कॅलक्यूलस मधील दोन मूलभूत ऑपरेशन्स आहेत. त्यांच्याकडे गणित, अभियांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्र सारख्या अनेक क्षेत्रात असंख्य अनुप्रयोग आहेत. डेरिवेटिव्ह आणि इंटिग्रल दोन्ही एखाद्या भौतिक घटकाचे कार्य किंवा व्यवहाराच्या वागणुकीवर चर्चा करतात ज्याबद्दल आम्हाला स्वारस्य आहे. व्युत्पन्न काय आहे?

समजा की y = ƒ (x) आणि x

0

ƒ च्या क्षेत्रात आहे. त्यानंतर _{Δx → ∞} Δy / Δx = लिम _Δ x → ∞ _{[ƒ (x 0} + Δx) - ƒ (x ₀ )] / Δxला § च्या ऐवजी x ₀ चे तात्काळ दर असे म्हटले जाते, तर ही मर्यादा थेटपणे अस्तित्वात आहे. ही मर्यादा येथे डेरिव्हेटिव्ह म्हणतात आणि ƒ (x) द्वारे दर्शविले जाते. _{फंक्शनच्या डेमेटिव्ह चे मूल्य} f

एका निष्क्रीय बिंदूवर x कार्याच्या क्षेत्रात लिम Δ x → ∞ [ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx खालीलपैकी कोणत्याही एक अभिव्यक्तीद्वारे हे दर्शवले जाते: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D _{x y}

_{अनेक चलने असलेल्या फंक्शन्ससाठी, आम्ही आंशिक डेरिव्हेटिव्ह परिभाषित करतो. अनेक व्हेरिएबल्स असलेल्या फंक्शनचे आंशिक व्युत्पन्न हे त्या व्हेरिएबल्सपैकी एकाच्या संबंधात त्याचे व्युत्पन्न आहे, असे गृहीत धरते की इतर व्हेरिएबल्स स्थिर आहेत. आंशिक व्युत्पत्तीचे प्रतीक ∂ आहे. भौमितिकपणे एखाद्या कार्याचा व्युत्पन्न फंक्शन ƒ (x) च्या वक्रचा उतार म्हणून लावलेला अर्थ लावता येतो.} समीकरणे म्हणजे काय?

एकत्रीकरण किंवा विभेद-भिन्नता म्हणजे विचलनाच्या उलट प्रक्रिया आहे. दुस-या शब्दात, कार्याचे व्युत्पन्न दिले जाते तेव्हा मूळ कार्य शोधण्याची प्रक्रिया असते. म्हणून, फंक्शन ƒ (x) एक अविभाज्य किंवा विरोधी-व्युत्पन्न, जर, ƒ (x) =

F

(x) चे कार्य

F

(x) म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते, x (x) च्या डोमेनमध्ये सर्व x साठी. एक्सप्रेशन ∫ƒ (x) dx हे फंक्शन ƒ (x) चे व्युत्पन्न दर्शविते. जर ƒ (x) = F (x), नंतर ∫ƒ (x) dx = F

(x) + C, जेथे C स्थिर आहे, ∫ƒ (x) dx याला ƒ (x) चे अनिश्चित अभिन्न भाग म्हणतात. कोणत्याही फंक्शन ƒ साठी, जे अपरिहार्यपणे अनिर्बंध नाही आणि अंतराळात [a, b], a ∫ b

ƒ (x) dx असे म्हटले जाते [ए, बी] वर निश्चित अभिन्न ƒ _{फंक्शन ƒ (x) चे निश्चित अभिन्न} a ^∫ b

ƒ (x) dx भूक्रमानुसार वक्र ƒ (x), एक्स-अक्ष आणि रेषा x = a आणि x = b. व्युत्पन्न आणि एकात्मतेमध्ये फरक काय आहे? _{• व्युत्पन्न प्रक्रिया विभेदनचा परिणाम आहे, तर इंटिग्रल ही प्रक्रिया एकत्रीकरणाचा परिणाम आहे.} • एखाद्या कार्याचा व्युत्पन्न कोणत्याही बिंदु वर वक्र ढल आहे हे दर्शविते, तर अभिन्न कर्व अंतर्गत क्षेत्र प्रतिनिधित्व.