अंकगणितीय क्रम विरुद्ध भौमितिक क्रम गणिताच्या क्षेत्रातील संख्येचा आणि त्यांच्या वर्तणुकीचा अभ्यास हा एक महत्त्वाचा अभ्यास आहे. बर्याचदा या नमुन्यांची निसर्गात पाहिले जाऊ शकते आणि आपल्याला वैज्ञानिक दृष्टिकोनातून त्यांचे व्यवहार समजावून सांगण्यास मदत होते. अंकगणितीय अनुक्रम आणि भौमितीक क्रम हे मूलभूत नमुन्यांची संख्या आहेत जे संख्येत आढळतात आणि बहुतेक वेळा ते नैसर्गिक प्रसंगी आढळतात.
क्रम क्रमबद्ध क्रमांकांचा एक संच आहे. अनुक्रमांतील घटकांची संख्या मर्यादित किंवा असीम असू शकते.
अंकगटित क्रम प्रत्येक सलग पद दरम्यान सतत फरक असलेल्या संख्या अनुक्रम म्हणून परिभाषित केले आहे. हे अंकगणित प्रगती म्हणून देखील ओळखले जाते.
अंकगणित सिकुनेस ⇒ एक
1 , एक 2 , एक 3, एक 4 , …, a n; जिथे 2 = एक 1 + एक, एक 3 = एक 2 + डी, इत्यादी.
सुरुवातीची मुदत एक 1 असल्यास आणि सामान्य फरक घ आहे, नंतर n
व्या क्रम क्रम दिले जाते;
एक n = एक 1 + (एन -1) d
वरील निकाल पुढील परिणाम घेऊन, n व्या पद दिले जाऊ शकते म्हणून देखील; एक n = एक
मी + (एनएम) ड, जिथे m
क्रमाने एक यादृच्छिक संज्ञा आहे जसे की n> m. अंकांचा संच आणि विषम संख्यांच्या संचाचा अंकगणितीय अनुक्रमांची सोपी उदाहरणे आहेत, जेथे प्रत्येक क्रम 2 च्या सामान्य फरक (डी) असतो.
अनुक्रमांमधील पदांची संख्या अनंत असू शकते किंवा मर्यादित असू शकते. असीम केस (n → ∞) मध्ये, सामान्य फरक (एक n → ± ∞) नुसार क्रम अनंत आहे. जर सामान्य फरक सकारात्मक (d> 0) असेल तर, अनुक्रम सकारात्मक गणिताला लागतो आणि जर सामान्य फरक नकारात्मक (d <0) असेल तर तो नकारात्मक अनंताकडे जातो. अटी मर्यादित असल्यास, क्रम देखील मर्यादित आहे.
अंकगणित या क्रमवारीतील संज्ञांची गणिती श्रेणी म्हणून ओळखली जाते: एस
n
= एक
1 + एक 2 + एक
3
+ एक 4 + ⋯ + एक n = ँ मी = 1 → नं * एक i; आणि S n = (एन / 2) (एक 1 + एक n ) = (न / 2) [2a 1 + (एन -1) डी] मालिका मूल्य (एस एन) देते. भौमितिक क्रम अधिक (भौमितिक प्रगती)
एक भौमितीय क्रम एक अनुक्रम म्हणून परिभाषित केला आहे ज्यात कोणत्याही दोन सलग पदांचा भाग एक स्थिर आहे. याला भौमितिक प्रगती देखील म्हटले जाते. भौगोलिक क्रम ⇒ एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 , …, a n; जिथे a 2 / एक
1
= आर, एक 3
/ एक 2
= आर, इत्यादी, जिथे r एक वास्तव आहे संख्या सामान्य प्रमाण (आर) आणि सुरुवातीच्या काळात (अ) वापरून भौमितीय क्रम दर्शविणे सोपे आहे. म्हणून भौमितिक क्रम ⇒ एक 1 , एक 1 r, a 1 r 2 , एक 1 r 3 , …, एक 1 r n-1n व्या एक n = एक 1
r n-1 द्वारे दिलेली संज्ञा सामान्य स्वरूप. (प्रारंभिक टर्म ⇒ एक n = AR n-1 ) च्या सबस्क्रिप्ट गमावणे भौमितिक क्रम देखील मर्यादित किंवा असीम असू शकते. पदांची संख्या मर्यादित असल्यास, क्रम मर्यादित असल्याचे म्हटले आहे. आणि जर शब्द अनंत असतील तर, अनुक्रमे रेषेच्या आधारावर अनुक्रम किंवा मर्यादित असू शकतात. सामान्य गुणोत्तर हे भौमितीय क्रमांमध्ये अनेक गुणधर्मांवर प्रभाव टाकतात. आर> ओ
0 +1 क्रम संक्रांत - घातांक कमी होणे, मी. ई. एक n → 0, n → ∞ r = 1 स्थिर क्रम, मी. ई. एक n = निरंतर आर> 1 क्रम बदलते - घातांकीय वाढ, मी. ई. एक n → ∞, n → ∞ r <0
-1 क्रम आहे, परंतु r = 1 क्रम बदलतो आणि सतत आहे, i. ई. एक n = ± स्थिर r <-1 क्रम क्रमबद्ध आणि विघटनित आहे. मी. ई. एक n → ± ∞, n → ∞ r = 0 अनुक्रमांक शून्य आहे N ब: वरील सर्व प्रकरणांमध्ये, एक 1 0; जर एक 1 <0, एखाद्या
n
शी संबंधित चिन्हे उलटे केले जातील.
बॉलच्या बाउंन्सच्या दरम्यानचा काळ म्हणजे आदर्श मॉडेलमध्ये भौमितीय क्रम होय आणि तो संक्रमित अनुक्रम आहे.
भौमितिक क्रमांची बेरीज भौमितिक श्रेणी म्हणून ओळखली जाते; एस n
= AR + 99 9 + आर
3 + + + आर n = ँ मी = 1 → न आर
मी
भौमितिक श्रेणीचा बेरीज खालील सूत्र वापरून मोजला जाऊ शकतो. S n
= a (1-आर n) / (1-r); जिथे प्रारंभिक पद आहे आणि r गुणोत्तर आहे
जर गुणोत्तर, आर ≤ 1, ही माल संकलित करते. अनंत श्रेणीसाठी, अभिसरण ची किंमत एस n = a / (1-r) अंकगणित आणि भूमितीय क्रम / प्रगती मधील फरक काय आहे? • अंकगटण अनुक्रमात, कोणत्याही दोन सलग पदांचे एक सामान्य फरक (डी) आहे, तर भौमितीय क्रमाने, कोणत्याही दोन सलग पदांमध्ये स्थिर भाग (आर) आहेत.
• गणिती क्रमाने, अटींचा फरक रेषेचा आहे, i. ई. सर्व मुद्द्यांमधून एक सरळ रेषा काढणे शक्य आहे. भौमितिक मालिकेत, फरक घातांक आहे; सामान्य गुणोत्तरांच्या आधारे एकतर वाढते किंवा कमी होणे
• सर्व असीम अंकगणितीय अनुक्रम भिन्न आहेत, तर अनंत भौमितीक मालिका भिन्न असू शकतात किंवा संक्रमित असू शकतात.
