पॉवर शृंखला आणि टेलर सीरिझमधील फरक

पॉवर मालिका बनाम टेलर सीरीज़ मध्ये एक कार्य आहे गणित मध्ये, वास्तविक संख्या ही वास्तविक संख्यांची क्रमवार यादी आहे. औपचारिकरित्या, वास्तविक संख्याच्या संचामधील प्रत्यक्ष संख्याच्या संचामधील कार्य हे एक वास्तविक संख्या आहे. जर

एक n हा क्रम आहे तर व्या अनुक्रमाचा पद आहे, आम्ही क्रम किंवा _{a 1} , ^{द्वारा क्रम दर्शवितो.} 2, …, एक n, _{…. उदाहरणार्थ, क्रम 1, ½, ⅓, …,} 1 / n, … वर विचार करा. हे {1 / n} म्हणून चिन्हांकित केले जाऊ शकते. _{अनुक्रम वापरून मालिका परिभाषित करणे शक्य आहे. एक मालिका अनुक्रम अटी बेरीज आहे. म्हणून, प्रत्येक अनुक्रमांसाठी, एक संबंधित क्रम आणि उपाध्यक्ष उलट आहे. जर {a n} विचारात घेतलेला क्रम आहे, तर, त्या क्रमाने तयार केलेली मालिका म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते:}

_{म्हणून, वरील उदाहरणामध्ये, संबंधित श्रृंखला 1 +} 1 ^{/ 2} + ₁ / 3

+ … +

1 _{/ n} + … नावे सुचवितो की, वीज श्रृंखला हा एक विशेष प्रकारचा माल आहे आणि तो अंकीय विश्लेषण आणि संबंधित गणितीय मॉडेलिंगमध्ये मोठ्या प्रमाणात वापरला जातो. टेलर मालिकेतील एक विशेष वीज मालिका आहे जी सुप्रसिद्ध कार्यप्रणाली दर्शविण्याचा पर्यायी आणि सहजपणे हाताळणारा मार्ग प्रदान करते.

पॉवर मालिका म्हणजे काय? ^{एक शक्ती मालिका} c ^{वर केंद्रीत काही अंतराने संसर्ग (शक्यतो) आहे. गुणकांकरीता a n वास्तविक किंवा जटिल संख्या असू शकते आणि ते} x पासून स्वतंत्र आहे; मी. ई. _{डमी व्हेरिएबल.} उदाहरणार्थ, ^a n _{= 1 प्रत्येकासाठी n,} आणि

c

= 0, पॉवर श्रृंखला 1 + x + x सेट करून

2

+ … + x

n

+ … प्राप्त होते. हे पाहणे सोपे आहे की जेव्हा x ε (-1, 1), ही पॉवर श्रंखला 1 / (1-x) पर्यंत वापरली जाते.

एक पॉवर मालिका जेव्हा x ₌ सी चे रुपांतर होते. x

इतर मूल्यांचे ज्यासाठी वीज श्रृंखला संकालित होते त्या नेहमी c वर केंद्रीत केलेल्या ओपन मध्यांतराचा प्रकार घेईल. _{ते असे आहे,} एक मूल्य येईल 0≤ R ≤ ∞ अशा प्रत्येक x संतोषी | xc | ≤ R, पॉवर मालिका अभिसरण आहे आणि प्रत्येक ^x संतोषी | xc |> ^R साठी, वीज श्रृंखला भिन्न आहे. हे मूल्य

R ला विद्युत श्रृंखला (

R कोणत्याही वास्तविक मूल्याची किंवा सकारात्मक गणित लागू शकतात) च्या अभिसरणांचा त्रिज्या म्हणतात.

पॉवर सीरीज खालील नियमांचा वापर करून जोडली जाऊ शकतात, वजाबाकी, गुणाकार आणि विभाजित केली जाऊ शकते. दोन शक्तींची मालिका विचारात घ्या: नंतर, i. ई. सारख्या अटी एकत्रित केल्या जातात किंवा कमी केल्या जातात. तसेच, ओळखीचा वापर करून दोन शक्तींची श्रेणी वाढवणे आणि विभाजित करणे शक्य आहे, टेलरची श्रृंखला काय आहे? टेलरची श्रृंखला एखाद्या फंक्शन साठी परिभाषित केली आहे f (x) हे एका अंतराने अमर्याद फरक आहे. f (x) c वर केंद्रीत मध्यंतरांवर भिन्नतेची कल्पना करा. नंतर ताकतीची मालिका याला टेलरचे सीलेक्शन f (x

) विषयी

c असे म्हणतात.

व्या

व्या वर एक्स >

(न) (c) दर्शवितात. c). संख्याशास्त्रीय विश्लेषणात, या अनंत विस्तारातील अटींची मर्यादित संख्या त्या मूलभूत मूल्यांच्या गणनामध्ये वापरली जाते जेथे मालिका मूळ कार्याशी संक्रमित आहे. एक फंक्शन f (x) हे अंतराने (a, b) विश्लेषणात्मक असल्याचे म्हटले जाते जर प्रत्येक x ε (a, b),

f

(x) च्या टेलरची मालिका फॅ (x) कार्यामध्ये रुपांतरित होते. उदाहरणार्थ, 1 / (1-x) हे विश्लेषणात्मक आहे (-1, 1), कारण त्याचा टेलर विस्तारा 1 + x + x 2 + … + x n + … रूपांतरित होतो त्या मध्यांतरच्या कार्यासाठी, ^e x e ^{x ई x सर्वत्र विश्लेषणात्मक आहे, प्रत्येक वास्तविक संख्येसाठी x पॉवर मालिका आणि टेलर मालिकेतील फरक काय आहे?}

1 टेलर मालिका ही काही फंक्शनल क्रियेसाठी परिभाषित केलेल्या शक्ती श्रेणीचा एक विशेष वर्ग आहे जे काही उघडे मध्यांतरांवर अमर्याद फरक करते. 2 टेलर मालिका विशेष फॉर्म घेते तर, एक पॉवर मालिका अशी मालिका होऊ शकते. --2 ->