अंकगणित आणि भूमितीय मालिका दरम्यान फरक

अंकगणित वि भूमितीय मालिका

अनुक्रमांची गणिती परिभाषा क्रमांशी अगदी जवळून संबंधित आहे. क्रम क्रमांच्या क्रमाने संच आहे आणि ते एक मर्यादित किंवा असीम संच असू शकते. स्थिर असलेल्या दोन घटकांमधील फरक असणारी संख्या एक अंकगणित प्रगती म्हणून ओळखली जाते. दोन सलग संख्यांच्या एका स्थिर भागाशी क्रमाने एक भूमितीय प्रगती म्हणून ओळखले जाते. ही प्रगती मर्यादित किंवा असीम असू शकते, आणि जर मर्यादित, पदांची संख्या गणनायोग्य असेल तर दुसरे गणली जाते.

साधारणपणे, प्रगतीतील घटकांची बेरीज ही शृंखला म्हणून व्याख्या करता येते. अंकगणित प्रगतीचा बेरीज गणितबद्ध श्रेणी म्हणून ओळखला जातो. त्याचप्रमाणे, भूमितीय प्रगतीचा बेरीज भौमितिक श्रेणी म्हणून ओळखला जातो.

अंकगणित मालिका बद्दल अधिक

अंकगणित मालिकेत, सलग अटींमध्ये सतत फरक असतो.

S _n = एक ₁ + एक ₂ + एक ₃ + एक ₄ + ⋯ + एक n _{= Σ} n ^{मी = 1} _a i; जिथे ₂ = एक ₁ + एक, एक ₃ = एक ₂ + डी, इत्यादी.

हा फरक डी सामान्य फरक म्हणून ओळखला जातो आणि n

व्या हा शब्द n

= एक 1 + (एन -1) ड. जिथे ^{1 हा पहिला पद आहे} मालिकेतील फरक सामान्य फरकांनुसार बदलतो. जर सामान्य फरक सकारात्मक असेल तर प्रगती सकारात्मक गणित असते, आणि जर सामान्य फरक नकारात्मक असेल तर तो नकारात्मक अनंताकडे वळतो.

या मालिकेतील बेरीज खालील साधारण सूत्राने मिळवता येते, ज्यांचा प्रथम भारतीय खगोलशास्त्रज्ञ आणि गणितज्ञ आर्यभट्ट यांनी विकसित केला होता. _S n _{= n / 2 (a} 1

+ a n) = n / 2 [2a

1

+ (n -1) d]

बेरीज S _{n अटींच्या संख्येवर आधारित, मर्यादित किंवा अनंत असू शकते.} भौमितिक मालिका बद्दल अधिक _{एक भौमितीय मालिका त्या अनुक्रमांकांची संख्या निरंतर असते. ही त्या मालिकेतील गुणधर्मांमुळे मालिकेतील अभ्यासात आढळणारी एक महत्त्वपूर्ण श्रृंखला आहे.} S _n = AR + 99 9 + 301 99 99 3 + 99 9 = न् = 9 i = 1 _आर i अनुपात r वर आधारित, खालीलप्रमाणे श्रेणीनुसार वागण्याचा वर्गीकरण करता येईल. r = {| r | ≥1 सीरीज डव्हरगेस; r1 1 मालिका converges}. तसेच, जर <0>

भौमितिक श्रेणींचा बेरीज खालील सूत्र वापरून मोजला जाऊ शकतो.एस n _{= a (1-r n) / (1-r); जिथे प्रारंभिक पद आहे आणि r गुणोत्तर आहे जर गुणोत्तर r1 1, मालिका converges. अनंत श्रेणीसाठी, अभिसरणचे मूल्य S} n

= a / (1-r) द्वारे दिले जाते.

भौगोलिक श्रृंखला, भौतिक विज्ञान, अभियांत्रिकी, आणि अर्थशास्त्र या क्षेत्रातील असंख्य अनुप्रयोग आहेत.

अंकगणित आणि भौगोलिक मालिका यात काय फरक आहे? _{• अंकगटित मालिका दोन समीप अटींमधील सतत फरक असणारी एक मालिका आहे.} • एक भौमितीय मालिका दोन सलग पदांमधील एक स्थिर भागासह एक मालिका आहे. ^{• सर्व असीम अंकगणितीय श्रेणी नेहमी भिन्न असतात, परंतु गुणोत्तरानुसार, भूमितीय मालिका एकतर संक्रमित किंवा भिन्न असू शकतात} • भूमितीय मालिका मूल्यांमध्ये ओलांडू शकतात; म्हणजे, संख्या त्यांच्या चिन्हे बदलून वैकल्पिकरित्या बदलतात, परंतु अंकगणित मालिकांमध्ये ओलसरपणा असू शकत नाही.